le barycentre

bon ici achaque fois que des point sont mis en sa ba se sont des vecteur exemple: AB ezt dsl pour ceux qui aime pas cette couleur car vous allez la voir beaucoup^^
Definition:

G est le barycentre de (A;a) et (B;b) si et seulement si a+bdiferent de 0
alors on peux dire que aGA+bGB=0

demonstration (qui sert a rien mais pour savoir d ou sa vient) :
aGA+bGB=aGA+bGA+bAB(on utilise Chasle avec GB pour faire GA+AB)
...........=(a+b)GA+bAB(on regroupe les GA)
donc bAB=-(a+b)GA(on passe (a+b)GA de l autre coter)
.......(a+b)AG=bAB(on remet de l ordre dans tout sa pour faire plus jolie^^)

et comme a+b est diferent de 0 donc on a le droit de faire sa
AG=b/(a+b)AB

donc d apres sa on peut dire que AG et AB sont colineaire donc G appartient a la droite (AB)
si a=b alors G est l isobarycentre de A et B et se sera toujours dit par cette relation AG=1/2AB
remarque:si a et b sont de meme signe alors G est compris entre [AB]
si a et b sont de signe contraire alors G n est pas compris entre [AB]
si la valeur absolu de a est plus grand que b alors G est plus pres de A que de B (et pareil pour le contraire )
si on a (A,2) et (B,-1) alors G est le symetrique de B par rapport a A (et sa marche avec tout reel k)

pour toute egaliter de aGA+bGB=0
on multiplie des 2 coter par un reel k
k(aGA+bGB)=0
kaGA+kbGB=0
donc sa change rien sa reste proportionnelle et cela permet de dire qu il existe plusieur relation entre G et A et B
pour faire plus simple AG=2/3AB=-2/3AB=4/6AB=84/126AB (cela ne change rien sauf les valeur de a et b )
autre demonstration (non demontrer mais essayer de la comprendre comment elle marche)
M est un point comme sa inconnu avec
aMA+bMB=(a+b)MG+aGA+bGA mais aGA+bGB=0
donc aMA+bMB=(a+b)MG (me demander pas a quoi sa sert c'est juste une formule de plus car vous pouvez tres bien vous debrouiller sans)

bon coordonnées du barycentre :
dans un repere (O;I;J) (comme dans tout repere) si a(xA;yA) et b(xB;yB) alors le barycentre g a pour coordonnées xG=(axA+bxB)/(a+b)
et yG=(ayA+byB)/(a+b)
barycentre de 3 point (c'est comme avec 2 sauf que c'est a 3^^)
G est le barycentre de (A,a),(B,b) et (C,c) si et seulement si a+b+c different de 0
et donc sa se traduit avec sa aGA+bGB+cGC=0
et G appartient au plan ABC
la propiété avec le reel k marche aussi
si G est le centre de gravité du triangle alors il est le barycentre de (A,1), (B,1) et(C,1)

dans tout repere (O;I;J)
G barycentre de A(xA;yA), B(xB;yB) et c(xC;yC) alors les coordonnée de G sont
xG=(axA+bxB+cxC)/(a+b+c)
yG=(ayA+byB+cyC)/(a+b+c)

Pour tracer le barycentre G du triangle ABC on cherche le barycentre H de deux autre des point et alors pour G barycentre de (A,a), (B,b) et (C,c) G est aussi barycentre de (H,a+b) et (C,c) (si H est le barycentre de A et B)

barycentre de n point :
le barycentre G de n point existe si et seulement si a+b+c+d+....+n est different de 0
et donc on a
aGA+bGB+cGC+dGD+.....+nGN=0

plusieur propriétés:
propriété fondamental:
aMA+bMB+cMC=(a+b+c)MG (comme pour la propriété avec M mais avec plusieur point)
ou aMA+bMB+cMC+...+nMN=(a+b+c+...+n)MG

propriété de coplanéarité:
le barycentre de 3 point non alignés de l espace appartiant au plan determiner par c'est 3 point (logique il va pas etre sur autre chose^^)

propriétéde simplification:
on peut multiplier ou diviser( bien s amuser avec des chiffre youpi ) par un meme reel non nulm tous les coefficient de plusieur point sans changer leur barycentre (sa veut dire que on peut multiplier par k sa change pas et c'est plus pratique comme pour le tracer)

propriété d associativité:
soit n le nombre de point superieur ou egale a 3 (car avec 2 point sa sert a rien et a 1 on peut pas donc c'est mieux a partir de 3 ^^) on ne change pas le barycentre des n point si on les remplace par leur barycentre avec pour coeficient la somme de leur coefficient (comme pour (H,a+b) barycentre de (A,a) et B,b))

et voila poser moi des question si vous voulez et je mettrai des exo avec la correction si j ai le temps et si sa me dit ^^
allé vive les math !! (nan je des a mort sa sert a rien )

[b]

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